الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على إيجاد حجم الهرم ومساحة سطحه الخارجية .
تمهيد : لا بد وأنك تعرف أهرام مصر ، فهي إحدى عجائب الدنيا السبع ، ولا بد أنك تعرف شكلها الهندسي ومما تتكون فهو عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته . ولتوضيح صورة الهرم لديك انظر الأشكال التالية :
وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته .
وسوف نبحث معاً في إيجاد مساحة سطح الهرم الخارجية وكذلك حجم الهرم القائم ؟
أولاً : مساحة سطح الهرم الخارجية :
لاحظ أن المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث
حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة .
أي أنّ : المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم
لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته .
× محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم .
=
أمثلة :
1.هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2 ، فما مساحته الجانبية ؟
الحل :
الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة ، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن :
مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه
= 20 × 4 = 80 سم2 .
2. هرم خماسي طول ضلع قاعدته 3 سم وارتفاعه الجانبي 6 سم احسب مساحة سطحه الخارجية ؟
محيط القاعدة × الارتفاع
الحل : مساحة سطح الهرم الخارجية =
( 5 × 3 ) × 6
=
= 15 × 3 = 45 سم2 .
3. هرم سداسي ارتفاعه الجانبي 16 سم ، وطول قاعدته 14 سم . أوجد مساحته الجانبية
× ( محيط القاعدة ) × الارتفاع الجانبي
الحل: المساحة الجانبية للهرم =
× ( 6 × 14 ) × 16
=
= 3 × 14 × 16 = 672 سم2 ।
ثانياً : حجم الهرم القائم :
لا شك أن حجم الهرم الرباعي أصغر من حجم متوازي المستطيلات الذي له ذات القاعدة والارتفاع ، وقد وجد العلماء من تجارب أجريت على متوازيات مستطيلات وأهرامات لها نفس الارتفاع أنّ :
حجم الموشور المشترك معه في القاعدة والارتفاع
حجم الهرم =
مساحة القاعدة × الارتفاع
=
أمثلة :
1. هرم ثلاثي قائم مساحة قاعدته 99 سم2 وارتفاعه 10 سم .
الحل :
× مساحة القاعدة × الارتفاع
الحجم =
× 99 × 10 = 330 سم3 .
=
2. هرم رباعي طول ضلع قاعدته ( 10 ) سم ، وارتفاعه ( 21 ) سم .
× مساحة القاعدة × الارتفاع
× 10 × 10 × 21 = 700 سم3 .
الحل : حجم الهرم =
=
سؤال للحل : إذا كان طول القاعدة المربعة للهرم الأكبر ( هرم خوفو ) في القاهرة هو تقريباً 220 م ، وارتفاعه حوالي 138 م । فاوجد حجمه .
لا شك أن حجم الهرم الرباعي أصغر من حجم متوازي المستطيلات الذي له ذات القاعدة والارتفاع ، وقد وجد العلماء من تجارب أجريت على متوازيات مستطيلات وأهرامات لها نفس الارتفاع أنّ :
حجم الموشور المشترك معه في القاعدة والارتفاع
حجم الهرم =
مساحة القاعدة × الارتفاع
=
أمثلة :
1. هرم ثلاثي قائم مساحة قاعدته 99 سم2 وارتفاعه 10 سم .
الحل :
× مساحة القاعدة × الارتفاع
الحجم =
× 99 × 10 = 330 سم3 .
=
2. هرم رباعي طول ضلع قاعدته ( 10 ) سم ، وارتفاعه ( 21 ) سم .
× مساحة القاعدة × الارتفاع
× 10 × 10 × 21 = 700 سم3 .
الحل : حجم الهرم =
=
سؤال للحل : إذا كان طول القاعدة المربعة للهرم الأكبر ( هرم خوفو ) في القاهرة هو تقريباً 220 م ، وارتفاعه حوالي 138 م । فاوجد حجمه .
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق